如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，现将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF(点A的对应点为点C)，延长AE交CF于点G．

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1. 如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，现将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF(点A的对应点为点C)，延长AE交CF于点G．

(1) 求证：四边形BEGF是正方形；

(2) 连接DE，①如图2，若AB=15，CG=3，试求BE的长；②如图3，若DA=DE，求证：CG=FG．

【考点】

正方形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．

(1) 如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是；

(2) 如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；

(3) 在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，直接写出线段CE的长．

综合题困难

如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．

(1) 求证：△ABD≌△FBC；

(2) 如图（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；

(3) 在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c²≠a²+b² ．在任意△ABC中，c²=a²+b²+k．就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）．

综合题普通

3. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：

(1) 【观察与猜想】如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；

(2) 如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；

(3) 【证明与理解】如图3，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 【知识点应用】如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折后得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难