如图，在边长为6的正方形中，点M为对角线上任意一点（可与B，D重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，设．

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1. 如图，在边长为6的正方形 $\text{[math]}$ 中，点M为对角线 $\text{[math]}$ 上任意一点（可与B，D重合），连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等时x的值；若不正确，请说明理由．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数及关系和位置关系，并说明理由．

(2) 在正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，（1）的结论依旧成立，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线时，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

(1) 【发现证明】

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE.

小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程.

(2) 【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程.

②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）

(3) 【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3 $\text{[math]}$ ，求AF的长.

综合题普通

3. 如图，点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 经探究， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三条线段满足某种数量关系，请直接写出它们之间的关系式．

综合题困难