如图，四边形ABCD是菱形.

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1. 如图，四边形ABCD是菱形.

(1) 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出AB的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E和点F；连接BF.

(2) 在（1）问图中，当 $\text{[math]}$ 时，请求出 $\text{[math]}$ 的度数.

解：∵EF垂直平分AB

∴ $\text{[math]}$ ▲

∴设 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$

∴ ▲ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∵四边形ABCD是菱形

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ .

在△ABC中， $\text{[math]}$ ，即： $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ▲

∴ $\text{[math]}$ ▲ .

【考点】

三角形内角和定理; 线段垂直平分线的性质; 等腰三角形的性质; 菱形的性质; 尺规作图-垂直平分线;

【答案】

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综合题普通

1. 在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：

①∠APB=120°；②AF+BE=AB．

那么，当AM∥BN时：

(1) 点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；

(2) 设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32 $\text{[math]}$ ，求AQ的长．

综合题普通

2. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

(1) 如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；

(2) 如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；

(3) 如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

综合题普通

3. 【问题背景】

文化墙是展示一个企业的历史，包括特色的一种重要手段，有一定的宣传、造势作用．如图，是某企业一面外轮廓为抛物线型 $\text{[math]}$ 的文化墙，该文化墙的最高点C到地面的距离 $\text{[math]}$ ，文化墙在地面上左右两端的距离 $\text{[math]}$ ，现要在墙面上规划出菱形 $\text{[math]}$ 区域，用于展示企业的发展历史，墙面剩余部分用于企业文化宣传．

【模型建立】

现以墙边左端点O为原点，水平地面 $\text{[math]}$ 所在直线为x轴，过点O垂直于 $\text{[math]}$ 的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系．

【任务解答】

(1) 求此抛物线对应的函数表达式；

(2) 已知展示企业发展历史区域（即菱形 $\text{[math]}$ ）的涂料价格是30元/ $\text{[math]}$ ，则购买该区域的涂料需要花费多少钱？

综合题普通