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1.

(1) 【问题背景】

如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，F为射线 $\text{[math]}$ 上一点（不与射线端点A重合），且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ；

(2) 【类比探究】

如图2，将（1）中的“正方形 $\text{[math]}$ ”改为“矩形 $\text{[math]}$ ”，其他条件均不变，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系，并说明理由；

(3) 【拓展延伸】

在（2）的条件下，过点E作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点G，若 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1) 问题发现：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是底边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 变式探究：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是腰 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底边作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

(3) 问题解决；如图 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为对角线作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 若设正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式．

实践探究题困难

(1) 【探究发现】如图①所示，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于 $\text{[math]}$ 点．求证： $\text{[math]}$

(2) 【类比迁移】如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 【拓展应用】如图③，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的三等分点， $\text{[math]}$ AB=6，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

(1) 【问题情境】

如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．

(2) 【尝试应用】

如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；

(3) 【拓展提升】

如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．

①求∠DMC的度数；

②连接AC交DE于点H，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难