某学习小组开展了图形旋转的探究活动：将一个矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，连结．

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1. 某学习小组开展了图形旋转的探究活动：将一个矩形 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到矩形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 延长线上．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M．观察思考线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 数量关系并说明理由．

(3) 在（2）的条件下，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N（如图3），若 $\text{[math]}$ ，旋转角 $\text{[math]}$ 等于多少度时 $\text{[math]}$ 是等边三角形，请写出 $\text{[math]}$ 的值，并说明 $\text{[math]}$ 是等边三角形的理由．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ， AC＝BC，D为斜边AB上一动点（不与端点A，B重合），以C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接AE，BE，F为AE的中点．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 用等式表示线段CD，BE，CF三者之间数量关系，并说明理由；

(3) 若CF＝ $\text{[math]}$ ， CD＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. △ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点，点P是直线DE上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，连接AM，CM．

(1) 问题发现：如图（1），当点P与点D重合时，线段CM与PE的数量关系是，∠ACM＝．

(2) 探究证明：当点P在射线ED上运动时（不与点E重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．

综合题普通

3. 在△ABC中，AB＝BC ， ∠ABC＝90°，D为AC中点，点P是线段AD上的一点，点P与点A、点D不重合），连接BP ．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P ，连接A₁B₁、BB₁

(1) 如图①，当0°＜α＜90°，在α角变化过程中，请证明∠PAA₁＝∠PBB₁ ．

(2) 如图②，直线AA₁与直线PB、直线BB₁分别交于点E ， F ．设∠ABP＝β，当90°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

(3) 如图③，当α＝90°时，点E、F与点B重合．直线A₁B与直线PB相交于点M ，直线BB_′与AC相交于点Q ．若AB＝ $\text{[math]}$ ，设AP＝x ， CQ＝y ，求y关于x的函数关系式．

综合题困难