如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且，．

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1. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若AD⊥BC于点D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；

(2) 若AE＝AF＝1，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 设△BDE、△CDF、四边形AEDF的面积分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、S，求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

分式的化简求值; 线段垂直平分线的性质; 菱形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，求证：四边形BCDE是菱形；

(2) 如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．

（ⅰ）求∠CED的大小；

（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．

综合题普通

2. 如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．

(1) 请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；

(2) 若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长．

综合题普通

3. 如图，已知 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 边上一点，过点D分别作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 下列条件：

①D是 $\text{[math]}$ 边的中点；

② $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线；

③点E与点F关于直线 $\text{[math]}$ 对称．

请从中选择一个能证明四边形 $\text{[math]}$ 是菱形的条件，并写出证明过程；

(2) 若四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难