如图，等边△ABC的边长为．点P从点C出发，沿C→B→A→C的方向运动，速度为；同时点Q从点B出发，沿B→A→C的方向运动，速度为，两个点有一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．设运动时间为，解答下列问题：

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1. 如图，等边△ABC的边长为 $\text{[math]}$ ．点P从点C出发，沿C→B→A→C的方向运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时点Q从点B出发，沿B→A→C的方向运动，速度为 $\text{[math]}$ ，两个点有一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，BP= $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(2) 当 $\text{[math]}$ =时，PQ//BC，此时，△APQ是三角形；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

等边三角形的性质; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，已知 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 方向匀速移动，它们的速度都是 $\text{[math]}$ ，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当运动时间为t秒时，则 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．（用含t的式子表示）

(2) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 是直角三角形；

(3) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点M，则点P，Q在运动的过程中， $\text{[math]}$ 的大小会变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请直接写出它的度数．

综合题困难

2. △ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．

(1) 如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝．

(2) 如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．

①试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．

②若BP＝10，CP＝m，求CA′的长．（用含m的式子表示）

综合题普通

3. 在等边 $\text{[math]}$ 中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若点E是AB的中点，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，若点E不是AB的中点时， $\text{[math]}$ 中的结论“ $\text{[math]}$ ”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．

综合题困难