如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合.

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1. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ (0，0)， $\text{[math]}$ (4，0)两点，顶点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠后，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 的位置，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 点不重合.

(1) 求二次函数的表达式；

(2) ①求证： $\text{[math]}$ ；

②求 $\text{[math]}$ ；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 与二次函数的交点横坐标.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质; 二次函数与一次函数的综合应用; 坐标系中的两点距离公式;

【答案】

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综合题困难

1. 已知顶点为 $\text{[math]}$ 抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；

(3) 如图2，点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN₁ ，若点N₁落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A、B．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) P是抛物线上一点，且位于直线 $\text{[math]}$ 上方，过点P作 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴，分别交直线 $\text{[math]}$ 于点M、N．

①当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；

②连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点C，当点C是 $\text{[math]}$ 的中点时，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，且 $\text{[math]}$ .对于该抛物线上的任意两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，总有 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与该抛物线交于另一点E，与线段BC交于点 $\text{[math]}$ .作 $\text{[math]}$ ，EG与BC交于 $\text{[math]}$ 点，求 $\text{[math]}$ 的最大值，并求此时 $\text{[math]}$ 点的坐标；

(3) 若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的纵坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系.

综合题困难