问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明. 尝试证明：

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1. 问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，可证 $\text{[math]}$ 小慧的证明思路是：如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，构造相似三角形来证明 $\text{[math]}$ .

尝试证明：

(1) 请参照小慧提供的思路，利用图2证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 应用拓展：
如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点.连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠，点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 点处.

$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ .

【考点】

平行线的性质; 等腰三角形的判定; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题普通

1. 在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．

(1) 如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；

(2) 如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．

①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．

②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．

综合题普通

2. 如图，已知AB是圆O直径，过圆上点C作 $\text{[math]}$ ，垂足为点D．连结OC，过点B作 $\text{[math]}$ ，交圆O于点E，连结AE，CE， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 求CE的长．

综合题普通

(1) 如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC，求证： $\text{[math]}$ .

(2) 如图2，在▱ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2.EC＝6.请直接写出cos∠AFE的值.

综合题普通