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1. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 ． 他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结 ， 沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 ．

(1) 【问题解决】

小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形是矩形，

∴ ．

由折叠可知， ， ．

∴ ．

∴ ．

请你补全余下的证明过程．
(2) 【结论应用】

的度数为度，的值为；
(3) 在图①的条件下，点P在线段上，且 ， 点Q在线段上，连结、 ， 如图②，设 ， 则的最小值为．（用含a的代数式表示）
【考点】
矩形的性质; 四边形的综合;
【答案】

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实践探究题 困难
能力提升
真题演练
换一批
1. 已知正方形ABCD ， 将边AB绕点A顺时针旋转至线段AE ， ∠DAE的平分线所在直线与直线BE相交于点F ．
(1) 【探索发现】

如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出∠DAE的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；
(2) 【深入探究】

在（1）的条件下 ， ①∠DEB的度数为            ；②连接CF ， 猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；
(3) 【拓展思考】

若正方形的边长 ， 当以点C ， F ， D ， E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．
实践探究题 困难
2. 【问题背景】

人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点 ， 点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 ． 想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）

九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点 ， 点落在线段上，为常数）．

(1) 【特例证明】

如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边 ， 相交于点 ， ．

①填空：    ▲    ；

②求证： ． （提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作 ， 的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．
(2) 【类比探究】

如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
(3) 【拓展运用】

如图3，点在边上， ， 延长交边于点 ， 若 ， 求的值．
实践探究题 困难
3. 综合与实践

问题背景

数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现

如图1，在中， ， ．

  

(1) 操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点 ， 折痕交于点 ， 连接 ， ， 则 ， 设 ， ， 那么（用含的式子表示）；
(2) 进一步探究发现： ， 这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 

拓展应用：

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中， ， ． 求这个菱形较长对角线的长．
(3) 拓展应用：

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中， ， ． 求这个菱形较长对角线的长．
实践探究题 困难