如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．

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1. 如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．

(1) 填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；

(2) 当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．

①求m值最大时点D的坐标；

②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

(1) 问题发现：如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD交于点M．① $\text{[math]}$ 的值为；②∠AMB的度数为；

(2) 类比探究：如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算 $\text{[math]}$ 的值及∠AMB的度数．

(3) 拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝ $\text{[math]}$ ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

综合题困难

2. 回顾：用数学的思维思考

(1) 如图1，在△ABC中，AB＝AC．

①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．

②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

（从①②两题中选择一题加以证明）

(2) 猜想：用数学的眼光观察

经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：

如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．

(3) 探究：用数学的语言表达

如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

综合题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的动点，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 外作正方形 $\text{[math]}$ ，分别联结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求正方形 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相似，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

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