如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象上的A点与反比例函数y＝（x＜0）的图象上的B点关于原点O对应（AB经过原点O），且OB＝2OA，我们称反比例函数y＝（x＜0）是反比例函数y＝（x＞0）的“位似反比例函数”，其中O为位似中心．

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1. 如图，反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上的A点与反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＜0）的图象上的B点关于原点O对应（AB经过原点O），且OB＝2OA，我们称反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＜0）是反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的“位似反比例函数”，其中O为位似中心．

(1) 反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＜0）反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的“位似反比例函数”；（填“是”或“不是”）

(2) 若反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象过点A（1，4）．

①则m的值为；

②若A₂₀₂₂在反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，对应点B₂₀₂₂在“位似反比例函数”y＝ $\text{[math]}$ （x＜0）的图象上，求证：BB₂₀₂₂＝2AA₂₀₂₂；

(3) 在（2）的条件下，在x轴的正半轴上是否存在一点P，使△ABP为直角三角形，若存在，求出P点的坐标．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 反比例函数图象上点的坐标特征; 定义新运算;

【答案】

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综合题困难

1. 已知C、D是双曲线 $\text{[math]}$ 上的两点，过点C作CA⊥x轴点A，过点D作DE⊥x轴点E，交OC于点F．

(1) 如图1，若点D坐标为（1，1），OE：OA=1：3，则 $\text{[math]}$ =

(2) 如图2，延长OD，AC相交于点B，若点D为OB的中点．

①当 $\text{[math]}$ ，求k的值；

②若点C的坐标是（6，1），试求四边形DFCB的面积．

综合题普通

2. 阅读：三角形的一条边的平方等于另两条边的积，称这个三角形为优美三角形，这条边称为优美边.

(1) 已知 $\text{[math]}$ 是优美三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ 是优美三角形.

综合题普通

3. 【定义】　数学活动课上，谢老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．

(1) 【理解】如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请用两种不同的方法再画出一个格点D，使四边形ABCD为对等四边形；

(2) 如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC＝BD．试说明：四边形ABCD是对等四边形；

(3) 如图3，点D，B分别在x轴和y轴上，且B（0，3），∠BDO＝30°，点A是边BD上的一点，且AD：AB＝2，点C在x轴上，且四边形ABOC为对等四边形，请直接写出过点B、C、D的抛物线的解析式．

综合题困难