综合与探究问题呈现：“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点E，以为边在与正方形的同侧作正方形．探究结论：

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1. 综合与探究

问题呈现：

“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上任取一点E，以 $\text{[math]}$ 为边在与正方形 $\text{[math]}$ 的同侧作正方形 $\text{[math]}$ ．

探究结论：

(1) 连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是.

(2) 探究发现：

如图2，在图1的基础上连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的中点M，连接 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

(3) 探究拓展：

“智慧”数学小组把“边 $\text{[math]}$ 上任取一点E”改成了“边 $\text{[math]}$ 的延长线上任取一点E”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出（2）中的结论是否符合题意，若不符合题意，请直接写出正确的结论．

【考点】

正方形的性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，并截取 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 同侧），连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明；

(2) 如图2，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

综合题困难

2. △ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为直线BC上一动点（（点D不与B，C重合）），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

(1) 观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：．

②BC，CD，CF之间的数量关系为；（将结论直接写在横线上）

(2) 数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3) 拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE．若已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出GE的长．

综合题困难

3. 在正方形ABCD中，点F在射线AD上（不与A、D重合），连接CF，以CF为对角线作正方形CEFG（C，E，F，G按逆时针排列），连接BE，DG．

(1) 如图1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；

(2) 由正方形的性质可知∠CDF＝∠CGF＝90°，即D，G两点均在以CF为直径的同一个圆上．

①请直接回答：∠CDG＝ ▲ °；

②如备用图，当点F在线段AD上时，判断CD、FD、BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．

③当点F在线段AD延长线上时，请在备用图2作出图形，直接写出CD、FD、BE三条线段之间的数量关系．

综合题困难