某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程.

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1. 某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在 $\text{[math]}$ 中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程.

(1) 求证：△ABD≌△ECD

证明：延长AD到点E，使DE＝AD

在△ABD和△ECD中

∵AD＝ED（已作）

∠ADB＝∠EDC（）

CD＝ ▲ （中点定义）

∴△ABD≌△ECD（）

(2) 由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是；

(3) 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

如下图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， AD是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求AE的长.

【考点】

三角形三边关系; 三角形全等的判定; 对顶角及其性质;

【答案】

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实践探究题普通

(1) 【初步探索】

如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD ，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ，使DG＝BE ．连接AG ，先证明△ABE≌△ADG ，再证明△AEF≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是；

(2) 【灵活运用】

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3) 【拓展延伸】

如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD ，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD ，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．

实践探究题困难

2. 【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后、我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，然后，对 $\text{[math]}$ 进行分类，可分为“ $\text{[math]}$ 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【逐步探究】

(1) 第一种情况：当 $\text{[math]}$ 是直角时，如图①，根据定理，可得 $\text{[math]}$ ；

(2) 第二种情况：当 $\text{[math]}$ 是钝角时， $\text{[math]}$ 仍成立，请你完成证明.

已知：如图②，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∠B=∠E，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是钝角，求证 $\text{[math]}$ ；

(3) 第三种情况：当 $\text{[math]}$ 是锐角时， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 不一定全等.在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是锐角，请你用尺规在图③中作出 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 不全等（不写作法，保留作图痕迹）：

(4) 【深入思考】

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是锐角，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ .

实践探究题普通