如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线.

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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点D是第三象限内抛物线上的动点，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

【考点】

二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 三角形的面积;

【答案】

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综合题普通

1. 如图①，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $\text{[math]}$ 轴，并沿 $\text{[math]}$ 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），连接 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上方抛物线上有一动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）若点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并求此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $\text{[math]}$ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

综合题困难

2. 如图所示，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 连结 $\text{[math]}$ ，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的面积最大？最大面积是多少？

综合题普通

3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于另一点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 在抛物线上是否存在一点P，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3) 点M为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

综合题普通