已知：点P是平行四边形对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

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1. 已知：点P是平行四边形 $\text{[math]}$ 对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

(1) 当点P与点O重合时如图 $\text{[math]}$ ，易证 $\text{[math]}$ （需证明）；

(2) 直线 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针方向旋转，当 $\text{[math]}$ 时，如图2、图3的位置，猜想线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

【考点】

平行四边形的性质; 四边形的综合; 四边形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为40，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，到达点 $\text{[math]}$ 时停止运动；点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 以相同速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，两点同时出发，同时停止，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动的时间是 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的高=；

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是形；

(4) 在点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动的过程中，判断四边形 $\text{[math]}$ 能否成为菱形，如果能，求出 $\text{[math]}$ 的值；如果不能，说明理由．

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2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ，点E从点A出发沿射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度运动，当点E出发 $\text{[math]}$ 时，点F从点B出发沿射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度运动．设点F运动的时间为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点t为何值时，以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出t的值．

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3. 已知：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，点E是 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ ，垂足为点G，交 $\text{[math]}$ 边于点F，点H是线段 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，延长 $\text{[math]}$ 交C $\text{[math]}$ 边于点K，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点M，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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