如图

1. 如图

(1) 【基础巩固】如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三形，点B、D、E在同条直线上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F.求证： $\text{[math]}$ .

(2) 【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度.

(3) 【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【初步感知】

（1）如图1，已知 $\text{[math]}$ 为等边三角形，点D为边 $\text{[math]}$ 上一动点（点D不与点B，点C重合）．以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

【类比探究】

（2）如图2，若点D在边 $\text{[math]}$ 的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为__________，请证明你的结论．

【拓展应用】

（3）如图3，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P是边 $\text{[math]}$ 上一定点且 $\text{[math]}$ ，若点D为射线 $\text{[math]}$ 上动点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请问： $\text{[math]}$ 是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．

实践探究题困难

2. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．

已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

法一：如图1，在上取一点D ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

法二：如图2，延长到D ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

你选择方法．

证明：

实践探究题普通

(1) 【证明体验】

如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

(2) 【思考探究】

如图2，在（1）的条件下，F为 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 【拓展延伸】

如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题普通