综合与实践：数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E．“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．

1. 综合与实践：

数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．

问题情境：在 $\text{[math]}$ 中，点P是边 $\text{[math]}$ 上一点．将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，点D的对应点为E．

“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点F，连接 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

(1) 数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；

(2) 拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为 $\text{[math]}$ 的中点时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由．

请你帮助他们解决此问题．

(3) 问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在 $\text{[math]}$ 边上时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的长为．（直接写出结果）

【考点】

平行四边形的性质; 相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【基础巩固】如图1，在 $\text{[math]}$ 中，D，E分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

(2) 【尝试应用】如图2，在 $\text{[math]}$ 中，D，E，F分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

(3) 【拓展提高】如图3，平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ， E，G分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求EF的长.

实践探究题困难

2. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1) [观察与猜想]

如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为＝；

(2) 如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

(3) [性质探究]

如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．求证： $\text{[math]}$ ；