问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AB＝8，长AD＝8.动手实践：

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1. 问题情境：

数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AB＝8，长AD＝8 $\text{[math]}$ .

动手实践：

(1) 如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为BE，连接 $\text{[math]}$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $\text{[math]}$ ，则折痕BE的长为.

(2) 如图2，永攀小组将矩形纸片ABCD沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC.再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），第二条折痕与AD交于点E.请写出OC与OA的数量关系，并说明理由.

(3) 如图3，探究小组将图1中的四边形 $\text{[math]}$ 剪下，在AE上取中点F，将△ABF沿BF折叠得到△MBF，点P、Q分别是边 $\text{[math]}$ 上的动点（均不与顶点重合），将 $\text{[math]}$ 沿PQ折叠使 $\text{[math]}$ 的对应点N恰好落在BM上，当 $\text{[math]}$ 的一个内角与 $\text{[math]}$ 相等时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA=8，OC=4．点P为对角线AC 上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q．

(1) tan∠ACB=；

(2) 在点P从点C运动到点A的过程中， $\text{[math]}$ 的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；

(3) 若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为

综合题困难

2. 如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将 $\text{[math]}$ 沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将 $\text{[math]}$ 沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$

(2) 求AD的长；

(3) 求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通

3. 已知，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折得 $\text{[math]}$ .

(1) 如图①，点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，当 $\text{[math]}$ 时，延长 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难