如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动．同时，动点Q从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接PQ，将绕点P顺时针旋转90°得到，设点P的运动时间为t秒．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动．同时，动点Q从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接PQ，将 $\text{[math]}$ 绕点P顺时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，设点P的运动时间为t秒．

(1) 用含t的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长度为．

(2) 当点N落在直线BC上时，求t的值．

(3) 连接QN，线段QN的中点记为点E，连接PE，当线段PE与 $\text{[math]}$ 的某条边的长度相等时，求t的值．

(4) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分为四边形时，是否存在一点O，使点O到这个四边形的各个顶点的距离都等于 $\text{[math]}$ ？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 三角形的综合; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AC＝8，BC＝6，点M、N分别在线段AC、BC上，将△ABC沿直线MN翻折，点C的对应点是C′．

(1) 当M、N分别是所在边的中点时，求线段CC′的长度；

(2) 若CN＝2，求点C′到线段AB的最短距离；

(3) 如图（2），当点C′落在边AB上时，

①四边形CMC′N能否成为正方形？若能，求出CM的值；若不能，说明理由．

②请直接写出点C′运动的路程长度．

综合题困难

2. 在△ABC中，AC＝AB ， ∠BAC＝ $\text{[math]}$ ，D为线段AB上的动点，连接DC ，将DC绕点D顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到DE ，连接CE ， BE ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ ＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；

(2) 如图2，当tanα＝ $\text{[math]}$ 时，

①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；

②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE＋EH的最小值；若不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点A作射线AM交射线BC于点D ，将AM绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到AN ，过点C作 $\text{[math]}$ 交直线AN于点F ，在AM上取点E ，使 $\text{[math]}$ ．

(1) 当AM与线段BC相交时，

①如图1，当 $\text{[math]}$ 时，线段AE ， CE和CF之间的数量关系为 ▲ ．

②如图2，当 $\text{[math]}$ 时，写出线段AE ， CE和CF之间的数量关系，并说明理由．

(2) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 是直角三角形，直接写出AF的长．

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