在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．

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1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．

(1) 如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；

(2) 在（1）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，点E在抛物线上，若 $\text{[math]}$ ，求出点E的坐标；

(3) 将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为P，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于M，N两点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求a的值．

【考点】

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）; 两一次函数图象相交或平行问题; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 左边），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点的坐标；

(2) 如图，在第三象限的抛物线上求点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；

(3) 如图，点 $\text{[math]}$ 为第一象限的抛物线上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交抛物线于另一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式.

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2. 抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点（点A在点B的左侧）.

(1) 求b与m的数量关系；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），且AB在 $\text{[math]}$ 内部.

①当 $\text{[math]}$ 时，求证：AB平分 $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 时，AP， $\text{[math]}$ 分别交y轴于C，D两点，求证： $\text{[math]}$ 是一个定值.

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3. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，与抛物线的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，并求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式（其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(2) 是否存在 $\text{[math]}$ 和相应的 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，如果存在，求出所有 $\text{[math]}$ 的值和点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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