如图，矩形内三个相邻的正方形的边长分别为m、n和1.

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1. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 内三个相邻的正方形的边长分别为m、n和1.

(1) 求图中阴影部分的面积（用含m和n的式子表示）；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求阴影部分的面积.

【考点】

完全平方公式及运用; 二次根式的应用;

【答案】

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综合题普通

1. 阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．

例如：3＋2 $\text{[math]}$ ＝（1＋ $\text{[math]}$ ）² ，善于思考的小敏进行了以下探索：

当a、b、m、n均为整数时，若a＋b $\text{[math]}$ ＝（m＋n $\text{[math]}$ ）² ，则有a＋b $\text{[math]}$ ＝m²＋2n²＋2mn $\text{[math]}$ ．

a＝m²＋2n² ， b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：

(1) 当a、b、m、n均为整数时，若 $\text{[math]}$ ，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝　　， b＝　　；

(2) 若a＋6 $\text{[math]}$ ＝（m＋n $\text{[math]}$ ）² ，且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3) 直接写出式子 $\text{[math]}$ 化简的结果．

综合题困难

2. 我们学习发现∶ 当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 当且仅当 $\text{[math]}$ 时取等号．

(1) 求当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 $\text{[math]}$ 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m．

综合题普通

3. 将完全平方公式 $\text{[math]}$ 进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

解：因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .

又因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ .

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题.

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 如图，在长方形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E、F是BC、CD上的点，且 $\text{[math]}$ ，分别以FC、CE为边在长方形 $\text{[math]}$ 外侧作正方形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，在长方形 $\text{[math]}$ 内侧作长方形 $\text{[math]}$ ，若长方形 $\text{[math]}$ 的面积为200，则图中阴影部分的面积和为.

综合题普通