如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，．

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1. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在y轴，x轴上，当 $\text{[math]}$ 在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形 $\text{[math]}$ 的形状保持不变，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 如图2，若以 $\text{[math]}$ 为边长在第一象限内作等边三角形 $\text{[math]}$ ，运动过程中，点 $\text{[math]}$ 到原点的最大距离是多少？

【考点】

三角形三边关系; 等边三角形的性质; 勾股定理; 矩形的性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. 操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.

(1) 如图1，求证：BE=BF；

(2) 特例感知：如图2，若DE=5，CF=3，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；

(3) 类比探究：如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，若DE=a，CF=b.请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)

综合题困难

2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，Q是AD上一点，将△CDQ沿CQ折叠，D点正好与AB边上P（不与A ， B重合）点重合，连接CP.

(1) 求DQ的长；

(2) 取CQ的中点M ，连接MD ， MP ， DP ，求△MDP面积．

综合题普通

3. 在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E

(1) 如图①，求DE的长（用a，b表示）；

(2) 如图②，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与（1）相同？

综合题普通