如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）

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1. 如图①．在矩形 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度运动，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 或边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连续 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，点 $\text{[math]}$ 停止运动．设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．（ $\text{[math]}$ ）

(1) 当点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 重合时，线段 $\text{[math]}$ 的长为；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；

(4) 作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 勾股定理; 矩形的判定与性质; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图①，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点E是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，点H恰为 $\text{[math]}$ 中点，求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题普通

(1) 方法探索：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．（根据所给的铺助线完成证明）

(2) 方法拓展：如图②．在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝ $\text{[math]}$ ∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF＝EF．并证明你的猜想．

(3) 知识应用：如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝5，AD＝4，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，求AE的长度．

综合题普通

3. 同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1) 【问题一】如图①，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 又是正方形 $\text{[math]}$ 的一个顶点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；

(2) 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 经过正方形 $\text{[math]}$ 的对称中心 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若正方形 $\text{[math]}$ 边长为8，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，说明理由．

综合题普通