鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形的边的延长线相交于点F ，的平分线交于点M ．

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1. 鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点F ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点M ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

三角形全等及其性质; 相似三角形的判定与性质; 正多边形的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，点F，E分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(1) 求证： $\text{[math]}$

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$

综合题普通

2. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E.

(1) 在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；

(2) 若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；

(3) 当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值.

综合题困难

3. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．

(1) 求证：AE⊥BF；

(2) 将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；

(3) 将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

综合题普通