如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处．

0 返回出卷网首页

1. 如图，在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的点，将正方形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边的点 $\text{[math]}$ 处．

(1) 【问题解决】如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与折痕 $\text{[math]}$ 的位置关系是， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 【问题探究】如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，在翻折过程中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 的面积是否为定值，若为定值，请求出 $\text{[math]}$ 的面积；若不是定值，请说明理由；

(3) 【拓展延伸】若 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 轴对称的应用-最短距离问题; 翻折变换（折叠问题）; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

您现在未登录，无法查看试题答案与解析。登录

实践探究题困难

1. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

操作：

操作一：对折正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展平；

操作二：在 $\text{[math]}$ 上选一点P，沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 探究：

①如图①，当点M在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ．

②改变点P在 $\text{[math]}$ 上的位置（点P不与点A、D重合），如图②，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

(2) 拓展：若正方形纸片 $\text{[math]}$ 的边长为8，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 综合与实践

定义：将宽与长的比值为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）的矩形称为 $\text{[math]}$ 阶奇妙矩形．

(1) 概念理解：

当 $\text{[math]}$ 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（ $\text{[math]}$ ）与长 $\text{[math]}$ 的比值是．

(2) 操作验证：

用正方形纸片 $\text{[math]}$ 进行如下操作（如图（2））：

第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；

第二步：折叠纸片使 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，展开，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第三步：过点 $\text{[math]}$ 折叠纸片，使得点 $\text{[math]}$ 分别落在边 $\text{[math]}$ 上，展开，折痕为 $\text{[math]}$ ．

试说明：矩形 $\text{[math]}$ 是1阶奇妙矩形．

(3) 方法迁移：

用正方形纸片 $\text{[math]}$ 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．

(4) 探究发现：

小明操作发现任一个 $\text{[math]}$ 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上（不与端点重合）任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 $\text{[math]}$ 的周长与矩形 $\text{[math]}$ 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．

实践探究题困难

3. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

(3) 【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难