有关阿基米德折弦定理的探讨与应用

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1. 有关阿基米德折弦定理的探讨与应用

(1) [问题呈现]

阿基米德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线AB-BC是圆的一条折弦），BC> AB，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，则从点M向BC作垂线，垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．

下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.

证明：如图②，在CD上截取CE=AB，连接MA、MB、MC和ME.

∵M是 $\text{[math]}$ 的中点，∴MA=MC.

……

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.

(2) [理解运用]

如图③，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作EF⊥AC于点F.若AC=10，BC=4，则CF的长为

(3) [实践应用]

如图④，等边△ABC内接于⊙O，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，且∠ABD= 45°，连接CD.若AB=2，则△BDC的周长为

【考点】

三角形全等及其性质; 等边三角形的性质; 垂径定理; 圆的综合题; 阿基米德折弦定理模型;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【基础巩固】

如图1，点A，F，B在同一直线上，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 【尝试应用】

如图2，AB是半圆 $\text{[math]}$ 的直径，弦长 $\text{[math]}$ 分别是AC，AB上的一点， $\text{[math]}$ ，若设 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系.

(3) 【拓展提高】

已知 $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 边AB上的一点，现将 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上.如图3，如果 $\text{[math]}$ ，求CE：CF的值（用含n的代数式表示).

实践探究题困难

2. 阅读资料：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），由勾股定理得AB²=|x₂﹣x₁|²+|y₂﹣y₁|² ，所以A，B两点间的距离为AB= $\text{[math]}$ ．

我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA²=|x﹣0|²+|y﹣0|² ，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r² ．

问题拓展：

如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为　（x﹣a）²+（y﹣b）²=r²　．

综合应用：

如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．

①证明AB是⊙P的切线；

②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．

实践探究题普通