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(1) 【基础巩固】

如图1，在 $\text{[math]}$ 中，D ， E分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连结DE，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

(2) 【尝试应用】

如图2，在 $\text{[math]}$ 中，在 $\text{[math]}$ 上取一点E ，以 $\text{[math]}$ 为一边构造平行四边形 $\text{[math]}$ ，使点D ， F恰好落在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

(3) 【拓展提高】

如图3，在 $\text{[math]}$ 中，在 $\text{[math]}$ 上取一点E ，以 $\text{[math]}$ 为一边构造平行四边形 $\text{[math]}$ ，使点F恰好落在 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长。

【考点】

平行四边形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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实践探究题普通

1. 在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法．

【原题呈现】

如图1，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，点O是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 的延长线交射线 $\text{[math]}$ 于点N．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【尝试探究】

如图1，过点M作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，则 $\text{[math]}$ 　　， $\text{[math]}$ 　　， $\text{[math]}$ 　　．

【类比延伸】

如图2，在原题的条件下，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 　　（用含有k的代数式表示）．

【拓展迁移】

如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 的延长线上的一点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点O．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 　　（用含m，n的代数式表示）．

实践探究题普通

2. 问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

(1) 【发现证明】

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论．

(2) 【类比引申】

如图2，四边形ABCD中∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD

(3) 【探究应用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成的ABCD，已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ $\text{[math]}$ ，米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： $\text{[math]}$ =1.41， $\text{[math]}$ =1.73）．

实践探究题普通

3. 【问题引入】

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 平分线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两边分别与射线 $\text{[math]}$ 交于C，D两点，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

【尝试探究】

（2）如图2，点F是函数 $\text{[math]}$ 图象上的一个动点，过点F的直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴和y轴于点M，N两点，且满足 $\text{[math]}$ ，点G为 $\text{[math]}$ 平分线上一点，若 $\text{[math]}$ ，当点G在第一象限时，求出点G的坐标．

实践探究题困难