在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（-2，），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB ，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C ，构造Rt△ABC ，使得∠BAC＝90°．

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1. 在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（-2， $\text{[math]}$ ），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB ，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C ，构造Rt△ABC ，使得∠BAC＝90°．

(1) 如图1，当m＝- $\text{[math]}$ 时，求直线AB的函数表达式．

(2) 当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．

(3) 已知点B关于原点O的对称点是点D ，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，在平面直角坐标系中，已知直线 $\text{[math]}$ 分别交坐标轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将点A绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，对应点为D，过点D分别作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点C，过点D作 $\text{[math]}$ 垂直x轴于点E．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 上存在点F，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，求点F的坐标；

(3) 如图2，若点M为点A关于点B的对称点，点P为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

2. 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与y轴交于点C，与直线 $\text{[math]}$ 交于点D．点P是线段 $\text{[math]}$ 上一动点（不与O，A重合），连接CP．

(1) 如图1，点D的横坐标为5.

①求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

②连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上取点M，将线段 $\text{[math]}$ 绕点P顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，点N恰好在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

3. 在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点A，交y轴于点B，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点C，交y轴于点D

(1) 如图1，连接BC，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 如图2，在直线 $\text{[math]}$ 上存在点E，使得 $\text{[math]}$ ，求点E的坐标；

(3) 如图3，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 的垂线交y轴于点F，点P在直线 $\text{[math]}$ 上，在平面中存在一点Q，使得以O，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

解答题困难