如图．已知是的角平分线，是延长线上的一点且．

(1) 【发现】如图①，已知等边 $\text{[math]}$ ，将直角三角形的 $\text{[math]}$ 角顶点 $\text{[math]}$ 任意放在 $\text{[math]}$ 边上（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），使两边分别交线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

②求证： $\text{[math]}$ .

(2) 【思考】若将图①中的三角板的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上移动，保持三角板与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的两个交点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都存在，连接 $\text{[math]}$ ，如图②所示.问点 $\text{[math]}$ 是否存在某一位置，使 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

(3) 【探索】如图③，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $\text{[math]}$ 处（其中 $\text{[math]}$ ），使两条边分别交边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均不与 $\text{[math]}$ 的顶点重合），连接 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的周长之比为（用含 $\text{[math]}$ 的表达式表示）.