如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．

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1. 如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．

(1) 求证：CE是⊙O的切线；

(2) 若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．

【考点】

圆的综合题; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点F， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点D时，求 $\text{[math]}$ 的半径；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 如图，在⊙O上有位于直径AB的两侧的定点C和动点P， $\text{[math]}$ =2，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂AC线CD，垂足为点D．

(1) 如图1，求证：△ABC∽△PCD；

(2) 类比（1）中的情况，当点P运动到什么位置时，△ABC≌△PCD？请在图2中画出△PCD，并说明理由．

(3) 如图3，当点P运动到某一位置时，有CP⊥AB时，求∠BCD的度数．

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3. 如图，锐角△ABC的三边长分别为BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于点E.交△ABC的外接圆于点D，边BC的中点为M.

(1) 求证：MD垂直BC；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值(用a，b，c表示)；

(3) 作∠ACB的平分线交AD于点P，若点P关于点M的对称点恰好落在△ABC的外接圆上，试探究a，b，c应满足的数量关系.

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