学习了轴对称后，小璧和小山来到乡村振兴基地进行了实践性研究．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果，，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同．小山认为可以先作的平分线交于点，然后再过点作边的垂线即可，小壁思考片刻后认为小山的方法复杂了，她还有更简洁的方法就可以做到——只需要作边的垂直平分线一条辅助线即可办到．请聪明的你根据小璧的思路完成以下作图与填空：

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1. 学习了轴对称后，小璧和小山来到乡村振兴基地进行了实践性研究．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同．小山认为可以先作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，然后再过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 边的垂线即可，小壁思考片刻后认为小山的方法复杂了，她还有更简洁的方法就可以做到——只需要作边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线一条辅助线即可办到．请聪明的你根据小璧的思路完成以下作图与填空：

(1) 用直尺和圆规作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ．（只保留作图痕迹）

(2) 已知：如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ，

证明： $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ▲ ，

由作图可知 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ▲ ，

$\text{[math]}$ ▲ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ▲ ，

$\text{[math]}$ ．

【考点】

角平分线的性质; 线段垂直平分线的性质; 含30°角的直角三角形; 轴对称的性质; 三角形全等的判定-SAS; 三角形全等的判定-AAS; 尺规作图-垂直平分线;

【答案】

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实践探究题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是一条角平分线．

【探究发现】如图1，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线．可得到结论： $\text{[math]}$ ．

小红的解法如下：

过点D作 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F，过点A作 $\text{[math]}$ 于点G，

∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，且 $\text{[math]}$ ，

∴______．

∴ $\text{[math]}$ ______，

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴______．

【类比探究】如图2，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外角平分线， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点D．

求证： $\text{[math]}$

【拓展应用】如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的角平分线且相交于点D， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值是______．

实践探究题普通

2. 综合与探究

如图，等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ .

（1）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，求 $\text{[math]}$ 的长及点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为坐标平面内异于点 $\text{[math]}$ 的点，且以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 全等，请直接写出满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）已知 $\text{[math]}$ ，试探究在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

实践探究题困难

(1) 【问题背景】

如图1：在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，小王同学探究此问题的方法是：延长 $\text{[math]}$ 到点G，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，可得出结论．

(2) 【探索延伸】如图2，若在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ ，上述结论是否仍然成立

(3) 【学以致用】

如图3，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为5的正方形， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

实践探究题困难