如图①所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm ， AD⊥BC于点D ，点P从点A出发，沿A→C方向以1cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q ，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM ，且∠PQM＝90°（点M ， C位于PQ异侧），设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）．

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1. 如图①所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm ， AD⊥BC于点D ，点P从点A出发，沿A→C方向以1cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q ，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM ，且∠PQM＝90°（点M ， C位于PQ异侧），设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm²）．

(1) 如图②，当点M落在AB上时，x＝；

(2) 求点M落在AD上时x的值；

(3) 若M点在AD下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 三角形的综合; 三角形-动点问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上不与点 $\text{[math]}$ 重合的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，设线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ .

(1) 直接用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长.

(2) 当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ，当重叠部分为四边形时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式.

(4) 若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，当直线 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 垂直时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

解答题困难

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°.

(1) 求证：△PAB∽△PBC.

(2) 求证：PA=2PC.

(3) 若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h₁，h₂，h₃，求证： $\text{[math]}$

解答题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上的点， $\text{[math]}$ 的垂直平分线交半园于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .已知半圆 $\text{[math]}$ 的半径为3， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的长.

（2）点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长.

解答题困难