如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

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1. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，且抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 在抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离与到点 $\text{[math]}$ 的距离之和最小，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 设点 $\text{[math]}$ 为抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 上的一个动点，直接写出使 $\text{[math]}$ 为直角三角形的点 $\text{[math]}$ 的坐标．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 轴对称的应用-最短距离问题; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 $\text{[math]}$ 的坐标值：

x	…	$\text{[math]}$	0	1	2	3	…
y	…	0	3	4	3	0	…

(1) 求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2) $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为F， $\text{[math]}$ 的外接圆与 $\text{[math]}$ 相交于点E.试问：线段 $\text{[math]}$ 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

综合题困难

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 在对称轴上找一点Q，使 $\text{[math]}$ 的周长最小，求点Q的坐标；

(3) 点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴的交点分别为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 过B ， C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 方向运动，到达C点后，立即返回，向 $\text{[math]}$ 方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段 $\text{[math]}$ 上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 求点D的坐标；

(3) 当点M ， N同时开始运动时，若以点M ， D ， C为顶点的三角形与以点B ， O ， N为顶点的三角形相似，求t的值；

(4) 过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段 $\text{[math]}$ 沿过点B的直线翻折，点A的对称点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

综合题困难