下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．已知：Rt△ABC ， ∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD ．作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；③连接AD ， CD ．所以四边形ABCD即为所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程．

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1. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．

已知：Rt△ABC ， ∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD ．

作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；

②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；

③连接AD ， CD ．

所以四边形ABCD即为所求作的矩形．

根据小东设计的尺规作图过程．

(1) 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，下结论）

(2) 为什么这样作出的四边形是矩形？请写出证明过程．

【考点】

矩形的判定; 尺规作图-垂直平分线;

【答案】

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作图题普通

1. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程.

已知： $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .

求作：矩形 $\text{[math]}$ .

作法：如图，

①作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点O；

②连接 $\text{[math]}$ 并延长，在延长线上截取 $\text{[math]}$

③连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

所以四边形 $\text{[math]}$ 即为所求作的矩形

根据小东设计的尺规作图过程，

(1) 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2) 完成下面的证明.

证明：∵ $\text{[math]}$ _▲_ ， $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形（）（填推理的依据）.

∵ $\text{[math]}$ ，

四边形 $\text{[math]}$ 是矩形（）（填推理的依据）

作图题普通

2. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.

已知：如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点.

求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形.

作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；

②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形.

根据小丁设计的尺规作图过程.

(1) 使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；

(2) 完成下面的证明.

证明：∴点O为AC的中点，

∴AO=CO.

又∵DO=BO，

∵四边形ABCD为平行四边形()(填推理的依据).

∵∠ABC=90°，

∴ $\text{[math]}$ ABCD为矩形()(填推理的依据).

作图题普通

3. 在数学课上，老师提出问题：如何用尺规作一个矩形？

小华的设计如下：

①如图，任取一点O，过点O作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②以O为圆心，任意长为半径作圆，与直线 $\text{[math]}$ 交于点A，C，与直线 $\text{[math]}$ 交于点B，D；

③连接AB，BC，CD，DA．

所以，四边形ABCD即为所求作的矩形．

老师说小华的设计是正确的，请你根据小华的设计完成以下问题：

(1) 在作图区内，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 将证明四边形ABCD是矩形的过程书写完整．

作图题普通