在平面直角坐标系中，抛物线经过点(4，2).点 P 在这条抛物线上，且点 P 的横坐标为m，过点 P 作 PQ⊥y轴，点 Q 的横坐标为2-4m.

1. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点(4，2).点 P 在这条抛物线上，且点 P 的横坐标为m，过点 P 作 PQ⊥y轴，点 Q 的横坐标为2-4m.

(1) 求该抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标.

(2) 作以 P 为圆心、半径长为3的⊙P，当⊙P与x轴相切时，求点 P 的坐标.

(3) 当线段 PQ被抛物线分成1：2 两部分时，求 m的值.

(4) 过点 P 作 $\text{[math]}$ 轴，点 M 的纵坐标为m+2，且点 M 与点 P 不重合，连结 MQ，当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x 的增大而减小时，直接写出m的取值范围.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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解答题困难

定义：如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足 $\text{[math]}$ ，则称点P为抛物线 $\text{[math]}$ 的勾股点。

解答题困难

解答题普通

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 为抛物线上任意一点，其横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

x	…	$\text{[math]}$	0	1	2	3	…
y	…	0	3	4	3	0	…