如图，点E是正方形边BC上一点，以为边向右侧构造正方形，连接，．

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1. 如图，点E是正方形 $\text{[math]}$ 边BC上一点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧构造正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：

①点G在 $\text{[math]}$ 的延长线上；

② $\text{[math]}$ ；

(2) 连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在边长为6的正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值，并写出解答过程.

解答题普通

2. 小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．

(1) 如图1，图案1是以Rt $\text{[math]}$ 的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 之间的数量关系：．

(2) 如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80， $\text{[math]}$ ，求该飞镖状图案的面积．

(3) 如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形 $\text{[math]}$ ，记图中正方形 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”．在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，图中有对“勾股三角形”；分别是哪几对？

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．（提示：连接 $\text{[math]}$ ）

解答题困难