【问题背景】：如图1，在中，，，，点E是斜边的中点，过点E作交AB于点D ．

1. 【问题背景】：

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是斜边 $\text{[math]}$ 的中点，过点E作 $\text{[math]}$ 交AB于点D ．

(1) 【实验探究】：

数学活动课中，小明同学将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点A按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，如图2所示，得到结论：① $\text{[math]}$ ；②直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所夹锐角的度数为；

(2) 若我们继续将 $\text{[math]}$ 绕点A按顺时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

(3) 【拓展延伸】：

在以上探究中，当 $\text{[math]}$ 旋转至D、E、C三点共线时，则 $\text{[math]}$ 的面积为多少？（请直接写出答案）

【考点】

二次根式的混合运算; 勾股定理的应用; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．

如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1) 图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；

(2) 图③中，AB=2，BC=3，则 $\text{[math]}$ ；

(3) 当AB=m ， BC=n时． $\text{[math]}$ ．

(4) 在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．

实践探究题困难

2. 综合与实践

问题情境：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 猜想验证：

试猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相似？并证明你的猜想．

(2) 探究证明：

如图，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点G， $\text{[math]}$ 是否成立？并说明理由．

(3) 拓展延伸：

若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

3. 如图

(1) [感知]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB中点，易知OA=OB=OC，则点A、B、C在以AB为直径的⊙O上．

[应用]如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，求证：四边形ABCD有外接圆．

(2) [拓展]如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD=4，∠BCD=75°，

连结BD，则∠ABD的度数为，BD的长度为

(3) 如图④，连结AC，将△ABC沿AC翻折得△AEC，连结DE，则∠AED的度数为．DE的长度为

实践探究题普通