如图，在中，，点D为边上一点（点D不与B ， C重合），且满足．以D为顶点作，射线交边于点E ．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 边上一点（点D不与B ， C重合），且满足 $\text{[math]}$ ．以D为顶点作 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点E ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 过A作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点G ．

i）试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间满足的数量关系（用含n的代数式表示）；

ii）连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 等腰三角形的性质; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB=AD，

(1) 判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；

(2) 若AF=2，求DF的长.

综合题普通

2. 边长为4的正方形ABCD中，EM是BC边的垂直平分线，连接AE，⊙O经过A，D两点且与BC边相切于点E，动点P在射线BC上且在点C的右侧，动点Q位于直线BC的上方，连接PQ．

(1) 请用无刻度直尺和圆规在图1中作出⊙O并直接写出⊙O的半径r＝；（不写作法，保留痕迹）

(2) 设OE交BQ于点F，若PQ＝CP＝5a，△PCQ的面积为10a² ，求 $\text{[math]}$ 的值（用含a的代数式表示），并直接写出a的最大值．

综合题普通

3. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图象上， $\text{[math]}$ 轴，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 纵坐标为2，点 $\text{[math]}$ 横坐标为1， $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的坐标及 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难