如图，在正方形中，点在边上，连接的平分线与边交于点，与的延长线交于点．设．

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1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 边交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．

①求证：点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点；

②求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

平行线的性质; 勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-ASA; 角平分线的概念; 相似三角形的判定-AA; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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解答题普通

1. 数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题普通

2. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

3. 如图1，正方形 $\text{[math]}$ 中，边长 $\text{[math]}$ ， E为对角线 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 对折，得到 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，

①求 $\text{[math]}$ 的面积；

②求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若在线段 $\text{[math]}$ 上另有一点F如图2，把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折，正好得到 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用含x的代数式表示y；

(3) 若点F在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折，得到 $\text{[math]}$ ，且在对角线 $\text{[math]}$ 上有一点E，使得 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠后正好得到 $\text{[math]}$ ．请画出此时的图形（任选一种即可），并简要叙述画图步骤．若仍设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用含x的代数式表示y．

解答题普通