如图，在矩形中，平分交射线于点，过点作交射线于点，连接交于点，连接交射线于点．

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，

①求证： $\text{[math]}$ ；

②猜想 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由．

(2) 若 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值(用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示)．

【考点】

四边形的综合; 解直角三角形—边角关系;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ．

(1) 填空：如图①，点C的坐标为，点G的坐标为；

(2) 将矩形 $\text{[math]}$ 沿水平方向向右平移，得到矩形 $\text{[math]}$ ，点E ， F ， G ， H的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为S ．

①如图②，当边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点M、边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点N ，且矩形 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S ，并直接写出t的取值范围：

②当 $\text{[math]}$ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

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2. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：

(1) 【观察与猜想】如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；

(2) 如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；

(3) 【证明与理解】如图3，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 【知识点应用】如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折后得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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3. 定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”.

(1) 如图1，近似菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ 所对的对角线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证：四边形 $\text{[math]}$ 是“近似菱形”

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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