如图，等边三角形的边长为 6 ，在边上各取一点，且满足，连结相交于点．

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1. 如图，等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为 6 ，在 $\text{[math]}$ 边上各取一点 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，试求点 $\text{[math]}$ 经过的路径长．

【考点】

等边三角形的性质; 相似三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS; 圆-动点问题; 尺规作图-作三角形的外接圆;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，以 $\text{[math]}$ 为直径作圆 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 点的坐标；

(2) 设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），过 $\text{[math]}$ 点作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．

解答题困难

2. 已知：如图，在等边△ABC 中，DB 是 AC 边上的高，E 是 BC 延长线上一点，且 DB＝DE，求∠E 的度数.

解答题普通

3. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：

第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图①）；

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图②）．

如图②所示建立平面直角坐标系，请解答以下问题：

（Ⅰ）设直线BM的解析式为y=kx，求k的值；

（Ⅱ）若MN的延长线与矩形ABCD的边BC交于点P，设矩形的边AB=a，BC=b；

（i）若a=2，b=4，求P点的坐标；

（ii）请直接写出a、b应该满足的条件．

解答题困难