如图1，在正方形中，是对角线，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，点E关于直线的对称点是点F，射线交线段于点G，连接．

1. 问题提出：

（1）如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是对角线 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点P逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，过点M作 $\text{[math]}$ 于N．请过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ 的长．

问题解决：

（2）某体育中考考点设计器材存放区域，在道路 $\text{[math]}$ 边固定柱子（点Q），道路 $\text{[math]}$ 边确定一点P，以 $\text{[math]}$ 为边，搭建正方形物品存放区域 $\text{[math]}$ ，内部道路 $\text{[math]}$ 上设点E作为专人看管处， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为不同的器材放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边 $\text{[math]}$ ，道路宽为 $\text{[math]}$ ， Q为 $\text{[math]}$ 上一定点，P为 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 于E．请问是否存在符合设计要求且面积最小的 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出面积最小值及此时 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．