在矩形中，M、N分别在边上，且，以为直径作，连结交于点H，连结交于点P，，．

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1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中，M、N分别在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 圆周角定理; 相似三角形的判定-AA; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，点E ， F分别在矩形ABCD的边AB ， CD上，连接EF ，交对角线AC于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求CG的长．

综合题普通

2. 如图1，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作CD//AB，交⊙O于D，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点M，连接AD.

(1) 求证：AD=BC；

(2) AD²=2AE·AB.

(3) 如图2，若M是BC中点，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

3. 如图，已知△ABC内接于 $\text{[math]}$ 是直径，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接CD交OE边于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 连接OC ，若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，四边形OCBD的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示BC.

综合题困难