综合与实践．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，该怎么办呢？小西进行了以下操作研究（如图1）：第1步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．第2步：再次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：将延长交于点G，将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：

1. 综合与实践．

如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作 $\text{[math]}$ 等大小的角，该怎么办呢？

小西进行了以下操作研究（如图1）：

第1步：对折矩形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展平．

第2步：再次折叠纸片，使点A落在 $\text{[math]}$ 上，并使折痕经过点 $\text{[math]}$ ，得到折痕 $\text{[math]}$ ，同时得到了线段 $\text{[math]}$ ．

小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：

将 $\text{[math]}$ 延长交 $\text{[math]}$ 于点G，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点B刚好落在 $\text{[math]}$ 边上点H处，连接 $\text{[math]}$ ，把纸片再次展平．

请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系：__________；

(2) 请求出 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

【考点】

菱形的判定; 矩形的性质; 求特殊角的三角函数值;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图1，木匠陈师傅现有一块五边形 $\text{[math]}$ 木板，它是矩形 $\text{[math]}$ 木板用去 $\text{[math]}$ 后的余料， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在 $\text{[math]}$ 上．

(1) [初步探究]

当 $\text{[math]}$ 时．

①若截取的矩形有一边是 $\text{[math]}$ ，则截取的矩形面积的最大值是______；

②若截取的矩形有一边是 $\text{[math]}$ ，则截取的矩形面积的最大值是______；

(2) [问题解决]

如图2，陈师傅还有另一块余料， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的距离为4，若以 $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 中点为原点构建直角坐标系，则曲线 $\text{[math]}$ 是反比例函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形 $\text{[math]}$ 材料，其中一条边在 $\text{[math]}$ 上，所截矩形 $\text{[math]}$ 材料面积是 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题普通