折纸是我国传统的民间艺术，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关纸片的折叠问题.

1. 折纸是我国传统的民间艺术，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关纸片的折叠问题.

(1) 折纸1：如图 $\text{[math]}$ ，在一张矩形纸片上任意画一条线段 $\text{[math]}$ ，将纸片沿线段 $\text{[math]}$ 折叠(如图 $\text{[math]}$ .如果长方形纸片 $\text{[math]}$ ，求重叠部分 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 折纸2：如图 $\text{[math]}$ ，已知矩形纸片 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上.小明想要在边 $\text{[math]}$ 上找出点 $\text{[math]}$ ，他的作法如下：

i)以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

ii)作 $\text{[math]}$ 的平分线与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

请问若按上述作法，所得的点 $\text{[math]}$ 是否符合要求?请证明你的结论；

(3) 折线3：如图 $\text{[math]}$ ，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .动点 $\text{[math]}$ 分别在两腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上( $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合)，且 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ 与等腰 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；

$\text{[math]}$ 试求 $\text{[math]}$ 与等腰 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积的最大值，并求出此时 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

平行线的性质; 三角形的面积; 等腰三角形的判定与性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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实践探究题困难