综合与实践探究【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过、旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系。因此他和同学一起对这个问题进行了数学探究。已知和都是等腰直角三角形，且

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1. 综合与实践探究

【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过、旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系。因此他和同学一起对这个问题进行了数学探究。

已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$

(1) 【初步探究】小鸣将 $\text{[math]}$ 绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图1，请探究线段BD、CE的数量关系，并说明理由。

(2) 【深入探究】若 $\text{[math]}$ ，在旋转过程中，当点D、点E和BC的中点O三点共线时，如图2，请探究线段BD、DO和OE的数量关系，并说明理由。

(3) 【应用探究】如图2，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）

(4) 【拓展探究】如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）

【考点】

含30°角的直角三角形; 勾股定理; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 问题初探

综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，在四形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E ， F ，分别在边AB ， AD上，且 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段BE ， DF ， EF之间的数量关系，并证明．小明同学发现，如图2，在AB延长线上截取 $\text{[math]}$ ，连接CG ．通过两次证明，证明三角形全等，可以解决问题．

请你直接写出（1）中的结论．

(2) 类比分析

李老师发现同学们运用了转化思想，构造全等三角形解决问题：为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面问题，请你解答．

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D，E在边AB上，且 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段AD ， BE ， DE之间的数量关系，并证明．

(3) 学以致用

如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在边AB上，用等式表示线段AD ， BD ， CD之间的数量关系，并证明．

实践探究题困难

2. 综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：

课题	在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$
模型抽象
测绘数据	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
	②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
	③牵线放风筝的手到地面的距离 $\text{[math]}$ 为1.6米．
说明	点A，B，E，D在同一平面内

请根据表格信息，解答下列问题．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 若想要风筝沿 $\text{[math]}$ 方向再上升12米，则在 $\text{[math]}$ 长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？

实践探究题普通

3. 在数学学习中，观察 $\text{[math]}$ 实验 $\text{[math]}$ 猜想 $\text{[math]}$ 证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究：

【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为 $\text{[math]}$ ，斜边为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ．对于一般的三角形 $\text{[math]}$ ，三边长分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，其边长的平方是否也存在某种关系．

【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系：

当 $\text{[math]}$ 是锐角三角形时，三边之间的关系是： $\text{[math]}$ ；

当 $\text{[math]}$ 是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ．

【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．这样就把锐角 $\text{[math]}$ 分成了两个直角三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导．