综合与实践【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究：

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1. 综合与实践

【问题初探】数学小组先以抛物线 $\text{[math]}$ 为例，对函数图象的平移变换做了以下研究：

$\text{[math]}$

(1) k的值为，若 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，则平移后对应的点为 $\text{[math]}$ 坐标为；

(2) 【探究归纳】同学们对函数图象向左平移1个单位，解析式中的x反而变为 $\text{[math]}$ 产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记：

定义：函数图象按 $\text{[math]}$ 平移是指沿x轴方向向右 $\text{[math]}$ 平移h个单位或向左 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位；再沿y轴向上 $\text{[math]}$ 平移k个单位或向下 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位。

设抛物线为 $\text{[math]}$ 上的任意一点为 $\text{[math]}$ ，将抛物线按（-1，3）平移后，M的对应点 $\text{[math]}$

【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究.

若反比例函数 $\text{[math]}$ 按（1，4）平移，求平移后的函数解析式；

(3) 若抛物线按 $\text{[math]}$ 平移，规定平移路径长为 $\text{[math]}$ .将抛物线 $\text{[math]}$ 平移后交直线 $\text{[math]}$ 于A ， B两点， $\text{[math]}$ ，当平移路径最短时，求m ， n的值.

【考点】

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）; 反比例函数的图象; 二次函数y=ax²+bx+c的图象; 二次函数y=ax²+bx+c的性质; 二次函数图象的平移变换;

【答案】

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实践探究题困难

1. 对于二次函数 $\text{[math]}$ 和一次函数 $\text{[math]}$ ，我们把 $\text{[math]}$ 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：

【尝试】

（1）当t=2时，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点坐标为 .

（2）判断点A是否在抛物线E上；

（3）求n的值.

【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 .

【应用】二次函数 $\text{[math]}$ 是二次函数 $\text{[math]}$ 和一次函数 $\text{[math]}$ 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.

实践探究题困难