已知：如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，．

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1. 已知：如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，E、F分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：矩形 $\text{[math]}$ 是正方形；

(2) 连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

矩形的性质; 正方形的判定与性质; 三角形全等的判定-AAS; 相似三角形的判定-SAS; 相似三角形的性质-对应角;

【答案】

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证明题普通

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求矩形 $\text{[math]}$ 的周长．

证明题普通

2. 在学习矩形的过程中，小明发现将矩形 $\text{[math]}$ 折叠，使得点B与点D重合，所得折痕在 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上，折痕平分矩形的面积．他想对此折痕平分矩形的面积进行证明．他的思路是首先作出线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，通过三角形全等的证明，将折痕左侧的四边形的面积转化为三角形的面积，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：用直尺和圆规，作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，交 $\text{[math]}$ 于点N，垂足为点O．

∵四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，

∴① ，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∵② ，

∴③ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴④ ，

即 $\text{[math]}$ 平分矩形 $\text{[math]}$ 的面积．

证明题普通

3. 问题背景

如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF $\text{[math]}$ α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．

（1）特殊情景

在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______ ．

（2）类比猜想

类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．

（3）解决问题

如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD $\text{[math]}$ ，请直接写出DE的长．

证明题困难