【背景】如图（1），点E ， F分别是正方形的边的中点，与相交于点P ，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H ，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．

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1. 【背景】如图（1），点E ， F分别是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点P ，连接 $\text{[math]}$ ．同学们在研究图形时，作 $\text{[math]}$ 交CE于点H ，发现： $\text{[math]}$ ．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段 $\text{[math]}$ 相等的线段，得到了多种方法证明 $\text{[math]}$ 成立．

(1) 【猜想】若把正方形 $\text{[math]}$ 改成平行四边形 $\text{[math]}$ ，其余条件不变，如图（2），结论 $\text{[math]}$ 是否还成立？请说明理由．

(2) 【延伸】在图（2）的条件下连接 $\text{[math]}$ ，那么四边形 $\text{[math]}$ 的面积和 $\text{[math]}$ 的面积有什么关系？请说明理由．

【考点】

三角形的面积; 相似三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-AAS; 三角形的中位线定理; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1) [观察与猜想]

如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为＝；

(2) 如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

(3) [性质探究]

如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．求证： $\text{[math]}$ ；

(4) [拓展延伸]已知四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

如图④，点P是 $\text{[math]}$ 上的点，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上．求 $\text{[math]}$ 的值；

(5) 如图⑤，点P是 $\text{[math]}$ 上的一点，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点G．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

实践探究题困难

(1) 【问题再现】苏科版《数学》八年级下册第94页有这样一题：

如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AD上的点， $\text{[math]}$ ，垂足为M，那么GEBF（填“＜”、“=”或“＞”）.

(2)
【迁移尝试】如图2，在5×6的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点M.求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 【拓展应用】如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N.
①求 $\text{[math]}$ 的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出 $\text{[math]}$ 的值为______.

实践探究题困难

(1) 【特例感知】

如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD ，过点D作DM⊥PD ，交BC的延长线于点M ．求证：△DAP≌△DCM ．

(2) 【变式求异】

如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB ，交AC于点Q ，点P在边AB的延长线上，连结PQ ，过点Q作QM⊥PQ ，交射线BC于点M ．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 【拓展应用】

如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A ， C重合），连结PQ ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC ， ∠PQM的边QM交射线BC于点M ．若AC＝mAB ， CQ＝nAC（m ， n是常数），求 $\text{[math]}$ 的值（用含m ， n的代数式表示）．

实践探究题困难